갈루아 군

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
- 2.1. 체의 확대의 갈루아 군
- 2.2. 다항식의 갈루아 군
3. 구조
4. 성질
5. 예시
참조

1. 개요

갈루아 군은 체의 확대에 대한 자기 동형군으로, 갈루아 확대의 자기 동형군을 특별히 지칭한다. 다항식의 근을 통해 정의되기도 하며, 갈루아 이론의 기본 정리에 따라 체론과 군론 사이의 중요한 연결 고리를 제공한다. 갈루아 군은 사유한군 구조를 가지며, 갈루아 코호몰로지와 밀접한 관련이 있다. 예시로는 자명군, 유한 아벨 군, 유한 비아벨 군, 무한 군 등이 있으며, 계산 도구와 전역체 및 국소체의 갈루아 군 비교를 통해 그 구조를 파악할 수 있다.

더 읽어볼만한 페이지

갈루아 이론 - 프로베니우스 사상
표수가 소수 p인 가환환 R에서 프로베니우스 사상은 r을 r^p로 보내는 환 준동형으로, 환의 표수가 p인 환의 범주에 대한 항등 함자에서 자체로의 자연 변환을 나타내며, 체 K가 표수가 0이거나 양의 표수를 갖고 프로베니우스 사상이 자기 동형 사상인 경우 완전체라고 한다.
갈루아 이론 - 갈루아 확대
갈루아 확대는 대수적, 정규, 분해 가능 확대 조건을 만족하는 체의 확대이며, 에밀 아르틴의 정리에 따라 여러 동치 조건이 존재하고 암호학 등 다양한 분야에 응용된다.

갈루아 군
개요
정의	갈루아 군은 체 확장 L/K에 대응하는 군이다. 이 군은 L의 자기 동형 사상들의 모임으로, K의 원소를 고정시키는 성질을 가진다. 갈루아 군은 갈루아 이론의 핵심적인 개념이다.
정의
갈루아 확대	L/K가 갈루아 확대라는 것은 L이 K의 분해 확대이면서 분리 확대인 경우를 의미한다.
갈루아 군	갈루아 확대 L/K의 갈루아 군 Gal(L/K)는 L의 자기 동형사상 σ들의 집합으로 정의된다. 여기서 σ는 K의 각 원소 a에 대해 σ(a) = a를 만족해야 한다. 즉, K의 원소를 고정시키는 L의 자기 동형사상들의 집합이다.
군 연산	갈루아 군의 군 연산은 자기 동형사상들의 합성이다. 즉, σ, τ ∈ Gal(L/K)에 대해 (σ ∘ τ)(α) = σ(τ(α))이다.
갈루아 군의 크기	유한 갈루아 확대 L/K에 대해, 갈루아 군의 크기는 [L : K]와 같다. 즉, \|Gal(L/K)\| = [L : K]이다.
예시
예시 1	Q(√2)/Q의 갈루아 군은 2개의 원소를 가진다. 하나는 항등 사상이고, 다른 하나는 √2를 -√2로 보내는 사상이다.
예시 2	Q(ζ)/Q (ζ는 1의 원시 n제곱근)의 갈루아 군은 (Z/nZ)×와 동형이다.
성질
기본 정리	갈루아 이론의 기본 정리는 갈루아 확대 L/K의 중간체 F (K ⊆ F ⊆ L)와 Gal(L/K)의 부분군 H 사이에 일대일 대응이 존재한다는 것을 설명한다. 이 대응은 F ↦ Gal(L/F)와 H ↦ L^H (H에 의해 고정되는 L의 원소)로 주어진다.
정규 부분군과 정규 확대	H가 Gal(L/K)의 정규 부분군일 필요충분조건은 L^H/K가 정규 확대인 것이다. 이 경우, Gal(L^H/K)는 Gal(L/K)/H와 동형이다.
응용
대수 방정식의 해	갈루아 이론은 대수 방정식이 거듭제곱근으로 풀릴 필요충분조건을 제시한다. 방정식의 갈루아 군이 풀이 가능군일 때만 거듭제곱근으로 풀 수 있다.
작도 가능성	갈루아 이론은 자와 컴퍼스만으로 작도 가능한 수가 어떤 조건을 만족해야 하는지 설명한다.
관련 항목
관련 항목	갈루아 이론 체론 군론 가해군
참고 문헌
참고 문헌	(영어) Jacobson, Nathan (2009). Basic Algebra I (2nd ed.). Dover Publications. ISBN 978-0-486-47189-1. (영어) Lang, Serge (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 978-0-387-95385-4.

2. 정의

갈루아 군은 체의 확대 및 다항식의 분해와 관련하여 정의된다.

체 ''E''가 체 ''F''의 확대체( $E/F$ )일 때, $E/F$ 의 자기 동형 사상은 ''F''의 각 원소를 고정하는 ''E''의 자기 동형 사상으로 정의된다. 즉, 모든 $x\in F$ 에 대해 $\alpha(x) = x$ 를 만족하는 동형 사상 $\alpha:E\to E$ 이다. $E/F$ 의 모든 자기 동형 사상의 집합은 함수 합성 연산에 대해 군을 이루며, $\operatorname{Aut}(E/F)$ 로 표기한다.

$E/F$ 가 갈루아 확대이면, $\operatorname{Aut}(E/F)$ 를 $E/F$ 의 '''갈루아 군'''이라 부르고, $\operatorname{Gal}(E/F)$ 로 표기한다.^[1] $E/F$ 가 갈루아 확대가 아닌 경우, 갈루아 군은 ''E''의 갈루아 폐포인 ''K''에 대해 $\operatorname{Aut}(K/F)$ 로 정의되기도 한다.

2. 1. 체의 확대의 갈루아 군

체의 확대

L/K

가 주어졌을 때, 체

L

의 자기 동형

f\colon L\to L

가운데

f(k)=k\forall k\in K

인 것들은 함수의 합성에 대하여 군을 이루며, 이를 체의 확대

L/K

의 '''자기 동형군'''

\operatorname{Aut}(L/K)

라고 한다.

만약

L/K

가 갈루아 확대일 경우, 그 자기 동형군을 '''갈루아 군'''

\operatorname{Gal}(L/K)

이라고 한다.^[1]

체

K

의 분해 가능 폐포

K^{\operatorname{sep}}

의 자기 동형군

\operatorname{Gal}(K^{\operatorname{sep}}/K)

을 '''절대 갈루아 군'''(absolute Galois group^영어)

\operatorname{Gal}K

이라고 한다. 절대 갈루아 군은 스펙트럼

\operatorname{Spec}K

의 에탈 기본군과 표준적으로 동형이다.

:

\operatorname{Gal}K\cong\pi_1^{\operatorname{\acute et}}(\operatorname{Spec}K)

K^{\operatorname{sep}}/K

는 최대 갈루아 확대이므로, 모든 갈루아 군은 절대 갈루아 군의 부분군이다.

2. 2. 다항식의 갈루아 군

임의의 체

K

및 3차 기약 다항식

f\in K[x]

에 대하여, 만약

\operatorname{char}K\ne2,3

이라면,

f

의 분해체는

K

의 갈루아 확대이며, 그 갈루아 군은 다음과 같다.^[14]

:

\operatorname{Gal}(f)\cong\begin{cases}\operatorname{Cyc}(3) & \sqrt{\operatorname{disc}(f)}\in\mathbb Q \\\operatorname{Sym}(3) & \sqrt{\operatorname{disc}(f)}\not\in\mathbb Q\end{cases}

여기서

\operatorname{disc}(f)

는

f

의 판별식이다.

다항식

f \in F[x]

의 갈루아 군은, 만약

K/F

가 존재하여

f

가

K

위에서 일차 다항식의 곱으로 인수분해될 때 (즉,

f(x) = (x-\alpha_1)\cdots (x - \alpha_k) \in K[x]

), '''다항식의 갈루아 군'''

f

는

K/F

의 갈루아 군으로 정의된다. 여기서

K

는 그러한 모든 체 중에서 최소인 체이다.

체

E

가 다항식

f

의

F

상의 분해체(

f

의 근을 모두 포함하는 최소의

F

의 확대체)일 때,

\operatorname{Gal}(E/F)

를

f

의

F

상의 갈루아 군이라고 부른다.

3. 구조

갈루아 확대의 갈루아 군은 자연스럽게 사유한군의 구조를 가지며 위상군이 된다. 갈루아 확대 $L/K$ 에 대하여, 그 부분 확대들의 격자 $\operatorname{Sub}(L/K)$ 및 갈루아 부분 확대들의 격자를 다음과 같이 정의할 수 있다.

: $\operatorname{Sub_{Gal}}(L/K)\subset\operatorname{Sub}(L/K)$

갈루아 군 $\operatorname{Gal}(L/K)$ 은 유한군들의 역극한으로 나타낼 수 있다.

: $\operatorname{Gal}(L/K)=\varprojlim_{M\in\operatorname{Sub_{Gal}}(L/K)}^{[M:K]<\aleph_0}\operatorname{Gal}(M/K)$

이와 같이 유한군의 역극한으로 나타내어지는 위상군을 사유한군이라고 하며, 갈루아 군의 사유한 위상을 '''크룰 위상'''(Krull topology^영어)이라고 한다.

3. 1. 갈루아 이론의 기본 정리

'''갈루아 이론의 기본 정리'''(fundamental theorem of Galois theory^영어)에 따라, 체의 확대와 갈루아 군의 부분군 사이에는 다음과 같은 표준적인 전단사 대응이 존재한다. 이는 절대 갈루아 군 대신 (상대) 갈루아 군에 대해서도 마찬가지로 성립한다.

체론	군론
$K^{\operatorname{sep}}/K$ 의 부분 확대 $L/K$	절대 갈루아 군의 닫힌 부분군 $\operatorname{Gal}(K^{\operatorname{sep}}/L)\le\operatorname{Gal}K$
$K^{\operatorname{sep}}/K$ 의 유한 부분 확대 $L/K$	절대 갈루아 군의 열린닫힌 부분군 $\operatorname{Gal}(K^{\operatorname{sep}}/L)\le\operatorname{Gal}K$
유한 확대 $L/K$ 에서, $K$ 를 고정시키는 매장 $L\hookrightarrow K^{\operatorname{sep}}$	$\operatorname{Gal}(K^{\operatorname{sep}}/L)\le\operatorname{Gal}K$ 의 (왼쪽) 잉여류
갈루아 확대 $L/K$	절대 갈루아 군의 닫힌 정규 부분군 $\operatorname{Gal}(K^{\operatorname{sep}}/L)\vartriangleleft\operatorname{Gal}K$
$K^{\operatorname{sep}}/K$ 의 부분 확대 $L/K$ 의 켤레 확대(conjugate extension^영어) $\sigma(L)/K$	$\operatorname{Gal}(K^{\operatorname{sep}}/L)$ 의 켤레 부분군 $\operatorname{Gal}(K^{\operatorname{sep}}/\sigma(L))=\sigma\operatorname{Gal}(K^{\operatorname{sep}}/L)\sigma^{-1}$

갈루아 이론의 기본 정리는 유한 갈루아 확장 $K/k$ 가 주어졌을 때, 부분체 $k \subset E \subset K$ 의 집합과 부분군 $H \subset G$ 사이에 일대일 대응이 존재한다는 것을 나타낸다. $E$ 는 $H$ 의 작용 하에서 $K$ 의 불변량 집합으로 주어지며,

: $E = K^H = \{ a\in K : ga = a \text{ where } g \in H \}$

또한, $H$ 가 정규 부분군이면 $G/H \cong \operatorname{Gal}(E/k)$ 이다. 반대로, $E/k$ 가 정규체 확장인 경우, $\operatorname{Gal}(K/k)$ 의 관련 부분군은 정규군이다.

체 $L$ 을 체 $K$ 의 유한 차수 갈루아 확대라고 하자. $L$ 과 $K$ 의 중간체 $M$ 과 $\operatorname{Gal}(L/K)$ 의 부분군 $H$ 에 대해 다음 식이 성립한다.

: $M = L^{\operatorname{Gal}(L/M)},~~ H = \operatorname{Gal}(L/L^H).$

단, $\operatorname{Gal}(L/M)$ 는 확대 $L/K$ 의 갈루아 군이며, $L^H$ 는 $L$ 의 원소 중 $H$ 에 의해 불변인 것들의 집합으로 이루어진 $L$ 의 부분 확대를 의미한다.

따라서, $L$ 의 중간체 $M$ 과 갈루아 군 $\operatorname{Gal}(L/K)$ 의 부분군 $H$ 사이의 대응

: $\phi : M \to H = \operatorname{Gal}(L/M),~~ \psi : M = L^H \leftarrow H$

는 서로 역함수 관계이며, 이는 전단사가 된다. 또한, 이 대응은 명백히 포함 관계를 뒤집는다. 즉, $M_1 \supset M_2$ 이면 $\phi(M_1) \subset \phi(M_2)$ 이고, $G_1 \supset G_2$ 이면 $\psi(G_1) \subset \psi(G_2)$ 가 된다.

3. 2. 격자 구조

만약

K_1, K_2

가 갈루아 군

G_1, G_2

를 갖는

k

의 갈루아 확장이라고 가정하자. 갈루아 군

G = \operatorname{Gal}(K_1K_2/k)

를 갖는 체

K_1K_2

는

G \to G_1 \times G_2

로의 단사를 가지며, 이는

K_1 \cap K_2 = k

일 때 동형사상이 된다.^[7]

따름정리로, 이는 유한 번 귀납적으로 적용될 수 있다. 갈루아 확대

K_1,\ldots, K_n / k

가 주어지고,

K_{i+1} \cap (K_1\cdots K_i) = k

일 때, 해당 갈루아 군들 간의 동형사상이 존재한다.

:

\operatorname{Gal}(K_1\cdots K_n/k) \cong \operatorname{Gal}(K_1/k)\times \cdots \times \operatorname{Gal}(K_n/k).

3. 3. 갈루아 코호몰로지

갈루아 군의 군 코호몰로지는 여러 흥미로운 정보들을 담고 있다. 이는 또한

K

의 스펙트럼

\operatorname{Spec}K

의 에탈 코호몰로지와 같다.

체의 확대

L/K

가 주어졌을 때, 자기 동형군

\operatorname{Aut}(L/K)

는 정의에 따라

L

위에 자연스럽게 작용하며,

(L,+)

은 군환

\mathbb Z[\operatorname{Aut}(L/K)]

위의 가군을 이룬다.

:

(n_1g_1+n_2g_2+\cdots+n_kg_k)\cdot a=n_1g_1(a)+n_2g_2(a)+\cdots+n_kg_k(a)\qquad\forall g_1,\dots,g_k\in\operatorname{Aut}(L/K),\;n_1,\dots,n_k\in\mathbb Z

'''가법 힐베르트 90번 정리'''(additive Hilbert’s theorem 90^영어)에 따르면, 유한 갈루아 확대

L/K

에 대하여,

L

계수의 고차 군 코호몰로지는 자명군이다.

:

\operatorname H^n(\operatorname{Gal}(L/K);L)=\begin{cases}K&n=0\\0&n>0\end{cases}

(이는 정규 기저 정리(normal basis theorem^영어)로부터 증명할 수 있다.)

체의 확대

L/K

가 주어졌을 때, 자기 동형군

\operatorname{Gal}(L/K)

는 가역원군

L^\times

위에 자연스럽게 작용하며,

L^\times

는 군환

\mathbb Z[\operatorname{Gal}(L/K)]

위의 가군을 이룬다.

:

(n_1g_1+n_2g_2+\cdots+n_kg_k)\cdot a=(g_1(a))^{n_1}(g_2(a))^{n_1}\cdots(g_k(a))^{n_k}\qquad\forall g_1,\dots,g_k\in\operatorname{Gal}(L/K),\;n_1,\dots,n_k\in\mathbb Z

'''승법 힐베르트 90번 정리'''(multiplicative Hilbert’s theorem 90^영어)에 따르면, 유한 확대

L/K

의 자기 동형군

\operatorname{Aut}(L/K)

가 유한군이라면,

L^\times

계수의 1차 군 코호몰로지는 자명군이다.

:

\operatorname H^1(\operatorname{Gal}(L/K);L^\times)=0

(이 경우

L/K

가 갈루아 확대라고 가정할 필요가 없다.)

4. 성질

갈루아 확대의 갈루아 군은 자연스럽게 사유한군의 구조를 가져 위상군이 된다. 구체적으로, 갈루아 군은 유한군들의 역극한으로 나타낼 수 있으며, 이러한 위상을 '''크룰 위상'''(Krull topology^영어)이라고 한다.

'''갈루아 이론의 기본 정리'''(fundamental theorem of Galois theory^영어)에 따라, 다음과 같은 표준적인 전단사 대응이 존재한다.

체론	군론
$K^{\operatorname{sep}}/K$ 의 부분 확대 $L/K$	절대 갈루아 군의 닫힌 부분군 $\operatorname{Gal}(K^{\operatorname{sep}}/L)\le\operatorname{Gal}K$
$K^{\operatorname{sep}}/K$ 의 유한 부분 확대 $L/K$	절대 갈루아 군의 열린닫힌 부분군 $\operatorname{Gal}(K^{\operatorname{sep}}/L)\le\operatorname{Gal}K$
유한 확대 $L/K$ 에서, $K$ 를 고정시키는 매장 $L\hookrightarrow K^{\operatorname{sep}}$	$\operatorname{Gal}(K^{\operatorname{sep}}/L)\le\operatorname{Gal}K$ 의 (왼쪽) 잉여류
갈루아 확대 $L/K$	절대 갈루아 군의 닫힌 정규 부분군 $\operatorname{Gal}(K^{\operatorname{sep}}/L)\vartriangleleft\operatorname{Gal}K$
$K^{\operatorname{sep}}/K$ 의 부분 확대 $L/K$ 의 켤레 확대(conjugate extension^영어) $\sigma(L)/K$	$\operatorname{Gal}(K^{\operatorname{sep}}/L)$ 의 켤레 부분군 $\operatorname{Gal}(K^{\operatorname{sep}}/\sigma(L))=\sigma\operatorname{Gal}(K^{\operatorname{sep}}/L)\sigma^{-1}$

이는 절대 갈루아 군 대신 (상대) 갈루아 군에 대해서도 마찬가지로 성립한다.

갈루아 확장의 중요성은 갈루아 이론의 기본 정리를 따른다는 것이다. 즉, 갈루아 군의 닫힌(크룰 위상에 대해) 부분군은 체 확장의 중간 체에 대응된다.

만약 $E/F$ 가 갈루아 확장이라면, $\operatorname{Gal}(E/F)$ 에 크룰 위상을 부여하여 프로유한군으로 만들 수 있다.^[1]

5. 예시

'''Gal(C/R)''': 항등 함수와 켤레복소수 사상 두 가지 원소로 구성된 군이다.^[12]
'''Gal(''F''/''F'')''': 항등 사상만으로 이루어진 자명군이다.
'''Gal(Q()/Q)''': 항등 사상 및 와 를 교환하는 사상 두 가지 원소로 구성된다.
'''Gal(''E''/''F'')''': ''q''를 소수의 거듭제곱, ''F'', ''E''를 각각 위수 ''q''와 위수 ''q''^''n''의 유한체라고 할 때, 위수 ''n''의 순환군이 된다.
'''Aut('''R'''/'''Q''')''': 자명군이다. 실제로, '''R'''의 자기 동형은 순서를 보존하므로 항등 사상이 된다.
'''Aut('''C'''/'''Q''')''': 무한군이다.
'''K'' = '''Q'''()''': Aut(K/Q)는 자명군이다. 이는 ''K''가 정규 확대가 아니기 때문이다. 즉, ''K''는 분해체가 아니다.
'''ω를 1의 3제곱근, ''L'' = ''Q''(, ω)''': 3차 대칭군 ''S''₃과 동형이다.
'''p''를 소수, ''f''가 ''p''차 유리수 계수 기약 다항식이며 실수 아닌 해를 2개만 가질 때''': ''f''의 갈루아 군은 ''p''차 대칭군 ''S''_''p''와 같다.^[13]

5. 1. 자명군

임의의 체 K에 대하여, Gal(K/K)는 자명군이다.^[12] Gal(F/F)는 항등 자기 동형사상, 즉 단일 원소만을 갖는 자명군이다. 자명군인 갈루아 군의 또 다른 예는 Aut(R/Q)이다. 실제로, 실수의 모든 자기 동형사상은 실수의 순서를 보존해야 하며, 따라서 항등사상이 되어야 함을 보일 수 있다.^[12]

체 K = Q(³√2)^영어를 생각해 보자. 군 Aut(K/Q)는 항등 자기 동형사상만을 포함한다. 이는 K가 정규 확대가 아니기 때문이다. 왜냐하면 2의 다른 두 세제곱근이 확장에 포함되지 않기 때문이다. 즉, K는 분해체가 아니다.^[12]

5. 2. 유한 아벨 군

크로네커-베버 정리에 따르면, 모든 유한 아벨 군은 어떤 원분 확대의 부분체의 갈루아 군으로 나타낼 수 있다.^[4]

갈루아 체에서 유도된 유한 아벨 군을 갖는 갈루아 군의 예시도 존재한다. q가 소수 거듭제곱이고,

F = \mathbb{F}_q

와

E=\mathbb{F}_{q^n}

이 각각 차수 q와

q^n

의 유한체를 나타낸다면,

\operatorname{Gal}(E/F)

는 차수 n의 순환군이며, 프로베니우스 자기 사상에 의해 생성된다.

q를 소수의 거듭제곱으로 하고, F, E를 각각 위수 q와 위수 $q^n$ 의 유한체로 할 때, Gal(E/F)는 위수 n의 순환군이 된다.

5. 3. 유한 비아벨 군

체 확장 $\Q(\sqrt{2},\sqrt{3})/\Q$는 4차 체 확장의 한 예이다.^[5] 이 확장은 두 개의 자기 동형사상 $\sigma, \tau$를 가지는데, 여기서 $\sigma(\sqrt{2}) = -\sqrt{2}$이고 $\tau(\sqrt{3})=-\sqrt{3}$이다. 이 두 생성자는 4차 클라인 네 그룹을 정의하므로, 이들이 전체 갈루아 군을 결정한다.^[2]

다른 예는 다항식의 분해체 $E/\Q$에서 찾을 수 있다.

:$f(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$

$ (x-1)f(x)= x^5-1$이므로, $f(x)$의 근은 $\exp \left (\tfrac{2k\pi i}{5} \right)$이다. 다음과 같은 자기 동형사상이 존재한다.

:$\begin{cases}\sigma_l : E \to E \\ \exp \left (\frac{2\pi i}{5} \right) \mapsto \left (\exp \left (\frac{2\pi i}{5} \right ) \right )^l \end{cases}$

이들은 4차의 군을 생성한다. $\sigma_2$가 이 군을 생성하므로, 갈루아 군은 $\Z/4\Z$와 동형이다.

사원수군은 $\Q$의 체 확대의 갈루아 군으로 찾을 수 있다. 예를 들어, 다음 체 확대는

:$\Q \left (\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{(2+\sqrt{2})(3+\sqrt{3})} \right )$

지정된 갈루아 군을 가진다.^[6]

5. 4. 무한 군

유리수체의 절대 갈루아 군

\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb Q}/\mathbb Q)

는 무한군이다. 유리수체의 절대 갈루아 군의 직접적인 묘사는 알려져 있지 않다. 다만, 벨리의 정리(Belyi’s theorem^영어)에 따르면 유리수체의 절대 갈루아 군은 데생당팡의 집합 위에 자연스러운 충실한 작용을 갖는다.^[9]

가장 연구가 많이 된 무한 갈루아 군의 종류 중 하나는 절대 갈루아 군으로, 고정된 체에 대한 모든 유한 갈루아 확대

E/F

의 역극한으로 정의되는 무한 프로유한 군이다. 역극한은 다음과 같이 표기한다.

:

\operatorname{Gal}(\overline{F}/F) := \varprojlim_{E/F \text{ 유한 분리 가능}}{\operatorname{Gal}(E/F)}

여기서

\overline{F}

는 체

F

의 분리 가능한 폐포이다. 이 군은 위상군이다.^[9] 몇 가지 기본적인 예로는

\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb Q}/\mathbb Q)

및

:

\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{F}}_q/\mathbb{F}_q) \cong \hat{\mathbb{Z}} \cong \prod_p \mathbb{Z}_p

.^[10]^[11]

또 다른 쉽게 계산할 수 있는 예는 모든 양의 소수의 제곱근을 포함하는 체 확대

\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}, \ldots)/ \mathbb{Q}

에서 나온다. 이 갈루아 군은

:

\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}, \ldots)/ \mathbb{Q}) \cong \prod_{p} \mathbb{Z}/2

이다. 이는 프로유한 극한

:

\cdots \to \operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5})/\mathbb{Q}) \to \operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})/\mathbb{Q}) \to \operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q})

의 계산과 갈루아 군의 계산을 사용하여 추론할 수 있다.

무한 자기 동형군을 갖는 체 확대의 기본적인 예는

\operatorname{Aut}(\mathbb{C}/\mathbb{Q})

인데, 이는 모든 대수적 체 확대

E/\mathbb{Q}

를 포함하기 때문이다. 예를 들어, 제곱 인수가 없는 원소

a \in \mathbb{Q}

에 대한 체 확대

\mathbb{Q}(\sqrt{a})/\mathbb{Q}

는 각각 고유한 차수

2

자기 동형 사상을 가지며,

\operatorname{Aut}(\mathbb{C}/\mathbb{Q})

에서 자기 동형 사상을 유도한다.

\operatorname{Aut}(\mathbb{C}/\mathbb{Q})

는 무한군이다.

5. 5. 3차 다항식

임의의 체

K

및 3차 기약 다항식

f\in K[x]

에 대하여,

\operatorname{char}K\ne2,3

이라면,

f

의 분해체는

K

의 갈루아 확대이며, 그 갈루아 군은 다음과 같다.^[14]

:

\operatorname{Gal}(f)\cong\begin{cases}\operatorname{Cyc}(3) & \sqrt{\operatorname{disc}(f)}\in\mathbb Q \\\operatorname{Sym}(3) & \sqrt{\operatorname{disc}(f)}\not\in\mathbb Q\end{cases}

여기서

\operatorname{disc}(f)

는

f

의 판별식이다.

5. 6. 계산 도구

아이젠슈타인 판정법은 다항식의 갈루아 군을 결정하는 데 유용한 도구이다.^[2] 다항식

f \in F[x]

가 기약 다항식

f = f_1\cdots f_k

로 인수분해되면,

f

의 갈루아 군은 각

f_i

의 갈루아 군을 사용하여 결정할 수 있다. 왜냐하면

f

의 갈루아 군은 각

f_i

의 갈루아 군을 포함하기 때문이다.

유한체 확대의 갈루아 군을 완전히 결정하는 데 필요한 기본적인 명제 중 하나는 다음과 같다. 다항식

f(x) \in F[x]

가 주어졌을 때,

E/F

를 이 다항식의 분해체 확대라고 하면, 갈루아 군의 차수는 체 확대의 차수와 같다. 즉,

:

\left|\operatorname{Gal}(E/F)\right| = [E:F]

5. 7. 전역체와 국소체의 갈루아 군 비교

전역체 확대 $K/k$ (예: $\mathbb{Q}(\sqrt[5]{3},\zeta_5 )/\mathbb{Q}$)와 완비화를 통해 국소체의 갈루아체 확대를 제공하는 $K$에 대한 가치 $w$ (예: $p$-진 가치) 및 $k$에 대한 $v$의 동치류가 주어지면, 갈루아 군 $G = \operatorname{Gal}(K/k)$은 완비화된 체가 호환되도록 가치의 동치류 집합에 유도된 작용을 한다. 즉, $s \in G$이면 국소체의 유도된 동형 사상 $s_w:K_w \to K_{sw}$가 존재한다. $w$가 $v$ 위에 놓여 있다는 가설 때문에(즉, 갈루아체 확대 $K_w/k_v$가 존재함), 체 사상 $s_w$는 실제로 $k_v$-대수의 동형 사상이다. 가치류 $w$에 대한 $G$의 등방성 부분군 $G_w = \{s \in G : sw = w \}$를 취하면, 전역 갈루아 군에서 국소 갈루아 군으로의 전사 사상이 존재하여 국소 갈루아 군과 등방성 부분군 사이에 동형 사상이 존재한다. 도식적으로는 다음과 같다.

\begin{matrix}\operatorname{Gal}(K/v)& \twoheadrightarrow & \operatorname{Gal}(K_w/k_v) \\\downarrow & & \downarrow \\G & \twoheadrightarrow & G_w\end{matrix}

여기서 수직 화살표는 동형 사상이다.^[8] 이는 전역 갈루아 군을 사용하여 국소체의 갈루아 군을 구성하는 기술을 제공한다.

참조

_[1] 논문 Aut(E/F) as the Galois group
_[2] 웹사이트 Abstract Algebra http://abstract.ups.[...]
_[3] 서적 Classical Algebra: Its Nature, Origins, and Uses https://books.google[...] John Wiley & Sons
_[4] 서적 Abstract Algebra
_[5] 문서
_[6] 서적 Field Theory https://www.jmilne.o[...]
_[7] 서적 Algebra
_[8] 웹사이트 Comparing the global and local galois groups of an extension of number fields https://math.stackex[...] 2020-11-11
_[9] 웹사이트 9.22 Infinite Galois theory https://stacks.math.[...]
_[10] 웹사이트 Field Theory https://www.jmilne.o[...]
_[11] 웹사이트 Infinite Galois Theory http://diposit.ub.ed[...]
_[12] 서적 Classical Algebra: Its Nature, Origins, and Uses https://books.google[...] John Wiley & Sons
_[13] 서적 Galois Theory Wiley-Interscience
_[14] 서적 Algebra

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com